O conjunto dos números inteiros tem por símbolo e é formado pelos elementos:
= { .... , -5, -4, -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, 4, 5 ... }
Este conjunto possui três
subconjuntos notáveis:
+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } = ,
ou seja, ⊂
– = { 0, -1, -2, -3, -4, -5 ... }
* = { .... , -5, -4, -3, -2, -1,
1, 2, 3, 4, 5 ... }
Os números negativos apareceram, historicamente, em registros contábeis, mas também como símbolo indicativo de faltas ou dívidas.
Para as operações em , tem-se também as sete propriedades da adição e da multiplicação explanadas no tópico anterior para o conjunto . Além delas, pode-se acrescentar a seguinte propriedade:
8. Para todo a ∈ , existe – a ∈ , tal que
a + (- a) = 0
Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta (Figura 1.9), onde em primeiro lugar marcamos o número 0 (zero). Todos os números à direita do zero são positivos (conjunto +) e aqueles à sua esquerda são os números negativos (conjunto – ).
O conjunto dos números naturais
tem por símbolo e é formado pelos elementos:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, ... }
Esses números surgiram “naturalmente” pela necessidade de se contar objetos ou seres já nas comunidades primitivas na Antiguidade, por volta de 4.000 anos antes de Cristo.
No conjunto dos números naturais, dado um elemento n qualquer, diz-se que o antecessor de n é o elemento n - 1 e o sucessor de n é o elemento n + 1. Logo, 2 é antecessor de 3 e 4 é o sucessor de 3. Como operações fundamentais para os números naturais, têm-se a adição e a multiplicação. Dados a, b e c ∈ , pode-se apresentar as seguintes propriedades:
1. Associativa da adição: (a + b)
+ c = a + (b + c)
2. Comutativa da adição: a + b =
b + a
3. Elemento neutro da adição: a +
0 = a
4. Associativa da multiplicação:
(ab)c = a(bc)
5. Comutativa da multiplicação:
ab = ba
6. Elemento neutro da
multiplicação: a.1 = a
7. Distributiva da multiplicação
relativamente à adição: a (b + c) = ab + ac
No conjunto dos números naturais, as operações de adição e multiplicação são fechadas, ou seja, são possíveis com quaisquer que sejam os números naturais.
Porém, o mesmo não é sempre verdade com as operações da subtração e divisão. Por exemplo, admitindo que a = 3 e b = 7, então a – b ∉ e a b ∉ . Os conjuntos numéricos a serem apresentados posteriormente são ampliações de *.
Observação: * = { 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, ... } e *⊂ .
Matemática básica / Rodrigo Nogueira de Codes.– Mossoró : EdUFERSA, 2013.